На вопрос "Который час?" мальчику ответили: " Без четверти три". Он знал, что мультфильмы по телевизору будут будут показывать в 15.00. Не опоздал ли он?

Он НЕ опоздал.

15.00 - это три часа дня, т.к. в три часа  ночи мальчики спят.
"Без четверти три" это тоже самое, что: без пятнадцати три или 2 часа 45 минут.