в трапеции ABCD (AD и BC-основания) точка K лежит на стороне CD, причем CK:KD=1:2. AK пересекает BD в точке O. Докажите, что если BC:AD=1:2, то BO=OD

Чертеж во вложении.
пусть М - точка пересечения продолжений прямых АК и ВС.
∆СКМ и ∆ДКА подобны по двум углам. Значит,

Рассмотрим ∆ВОМ и ∆АОД. У них ВМ=АД (по доказанному выше), ∠В=∠Д, ∠M=∠A.
Значит, ∆ВОМ = ∆АОД по стороне и прилежащим углам. Из этого равенства следует, что ВО=ОД.
Доказано.