В треугольнике авс на стороне вс выбрана точка а1 так, что ва1 : а1с=1:3, точка с1 середина ав. Найдите ак : ка1, где к - точка пересечения аа1 и сс1.

Решение: Напишу с начало какие я здесь факты буду использовать теореме Чевы,  и  Ван-Обеля можете посмотреть в интернете.  (просто писать здесь надо много) 

Пусть B1, будет пересечением ВК с АС,  тогда по теореме    Чевы  =>
(BA1*B1C*AC1)/(A1C*B1A*C1B)=1
это просто условие того что они будут пересекаться в одной точке.
У нас BA1=1,  A1C=3,  C1B=1/2,   AC1=1/2 
1*B1C*1/2 / 3*B1A*1/2   = 1 
B1C/2 / 3B1A/2 = 1
B1C/B1A=3

По теореме Ван Обеля 
AK/KA1 = AC1/C1B + AB1/B1C  = 1+ 1/3 = 4/3