Из концов диаметра AB окружности опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на касательную. Докажите, что точка касания С является серединой отрезка A1B1.

 ОС - радиус, перпендикулярен к касательной. Значит А1С и В1С являются проекциями отрезков АО и ОВ на касательную.Но АО=ОВ (радиусы - половины диаметра АВ), значит равны и их проекции, то есть А1С=СВ1 или точка С является серединой отрезка А1В1.
Что и требовалось доказать.