Доказать, что:

11...1 это k едениц, а 55...56 это k-1 пятерок и шестерка.
8 класс, повышенная сложность.

Данное число под квадратным корнем можно записать в виде (10^k-1)*10^k/9 + 5* (10^(k-1)-1)*10/9+6
Это следует из формулы суммы первых членов геометрической прогрессии . Преобразовывая получаем (10^k+2)^2/9 , значит из под корня в итоге следует (10^k+2)/3 .

если не изучали данный вид прогрессии , можно по другому , для начала представим число 11111111....1 (k раз в вашем случае) как это сделать ? Придём к этому логический , можно число 11111111...1 представить в виде 9999999...9/9 ( домножив и поделив на 9 ) , но с другой стороны 999999999...9 это 10^k-1, частные случаи 99=10^2-1 , 999=10^3-1 И так далее , заметим что количество девяток в числе будет равняться степени.

Я отметил как нарушение опечатку: (10^k-2)^2 вместо (10^k+2)^2

Большое спасибо за решение!

Сори: нажимал на звездочки, случайно попал на нарушение

в решении все верно