Предмет: Математика, автор: AlexandrIv

Помогите пожалуйста
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y = 4 – x2 , y = x2-2x

Ответы

Автор ответа: sedinalana

Найдем пределы интегрирования
4-x²=x²-2x
x²-2x-4+x²=0
2x²-2x-4=0
x²-x-2=0
x1+x2=1 U x1*x2=-2
x1=-1 U x2=2
Фигура ограничена сверху параболой у-4-х²,а снизу параболой у=х²-2х
Подинтегральная функция 4-х²-х²+2х=4+2х-2х²
$S= \int\limits^2_{-1} {(4+2x-2x^2)} \, dx =4x+x^2-2x^3/3|^2_{-1}=$ $8+4-16/3+4-1-2/3=9$

AlexandrIv: Большое спасибо

Автор ответа: skvrttt

график функций с выделенной площадью будут во вложении.

итак, находим точки пересечения:
$4-x^2=x^2-2x$ , значит, $x^2-x-2=0$ и, следовательно, $\left[\begin{array}{ccc}x=-1\\x=2\end{array}\right$ , то есть интеграл определён на отрезке $[-1;2]$ ;

ищем подынтегральную функцию:
$-x^2+4-(x^2-2x)=-2x^2+2x+4$ ;

и наконец, ищем площадь фигуры:
$S=\int\limits^2_{-1}({-2x^2+2x+4})dx=(-\frac{2}{3}x^3+x^2+4x)|^2_{-1}=\\\\(-\frac{2}{3}*2^3+2^2+4*2)-(-\frac{2}{3}*(-1)^3+(-1)^2+4*(-1))=\\\\-\frac{2}{3}*8+12-(\frac{2}{3}-3)=-\frac{18}{3}+15=-6+15=9$

Приложения: