Каткие остатки могут давать точные квадраты при делении на 4?

0 или 1.

Любое целое число можно представить в виде 2n или 2n + 1.
В первом случае квадрат дает остаток 0 при делении на 4: (2n)^2 = 4n^2 + 0
Во втором случае остаток 1: (2n + 1)^2 = 4(n^2 + n) + 1