В треугольнике ABC, где AB ≠ AC, проведён отрезок AM, соединяющий вершину A с произвольной точкой M стороны BC. Докажите, что треугольники AMB и AMC не равны друг другу.

Воспользуемся методом "от противного", то есть попробуем доказать, что эти треугольники равны. Воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по стороне и двум углам). Сторона AM общая для этих треугольников, тогда необходимо доказать, что углы ВМС и АМС, а также углы ВАМ и САМ равны. Углы ВМС и АМС смежные и равны друг другу могут быть только в том случае, если оба прямые. Тогда отрезок АМ - высота треугольника АВС.  Если же углы ВАМ и САМ равны между собой, то отрезок АМ - биссектриса треугольника АВС. 
Получаем, что отрезок АМ - это одновременно и высота, и биссектриса треугольника АВС. Значит, этот треугольник равнобедренный, причем АВ=АС, чего не может быть по условию. Следовательно, наше предположение неверно и треугольники АМВ и АМС не равны друг другу. Доказано.

Выберем точку М на стороне ВС таким образом, чтобы отрезки ВМ=МС (в противном случае у треугольников АВМ и АМС только одна общая сторона и две другие, не равные друг другу). Получаем два треугольника у которых равны две стороны ВМ=МС и АМ общая. Но по условию АВ ≠ АС ⇒ ΔАВМ ≠ ΔАМС.