Предмет: Алгебра, автор: Змей24

Найдите границу: $lim_{x to 0} frac{(1+x)^{a}-1}{x}$

Ответы

Автор ответа: Newtion

0

Если подставим значение x=0 получим неопределенность вида 0/0.
Очевидно что функции $f(x)=(1+x)^a-1, ,g(x)=x$ дифференцируемы в любой точке, следовательно они дифференцируемы в окрестности точки x=0. Очевидно что $g'(x)ne 0$ .

Найдем следующий предел:

$displaystyle lim_{x to 0} frac{f'(x)}{g'(x)}= lim_{x to 0} frac{acdot (1+x)^{a-1}}{1}= lim_{x to 0} acdot (1+x)^{a-1}=a$ .

Следовательно, по правилу Лопиталя:

$displaystyle lim_{x to 0} frac{(1+x)^{a}-1}{x} =a$

Автор ответа: Аноним

0

Воспользуемся замечательным пределом $displaystyle lim_{xto 0} frac{e^x-1}{x} =1$

Представим выражение в так:

$displaystyle lim_{xto 0} frac{(1+x)^a-1}{x} =lim_{xto 0} frac{e^{aln(1+x)}-1}{aln (1+x)} cdot frac{aln(1+x)}{x} =a$

Приложения:

Автор ответа: Змей24

0

Это гениально!

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Алгебра, автор: merrychilingaryan

Я ДАЮ 30 БАЛЛОВ!!!!! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

6 лет назад

Предмет: Алгебра, автор: nastailla58

найти значения выражения 8а+3b при а=0,b= -1

6 лет назад

Предмет: Химия, автор: putin7250

Вычислить Mr(Ca(OH)2)-? W(Ca)-? W(O)-? W(H)-?

6 лет назад

Предмет: Математика, автор: rfntyjr

Задача
прямоугольный лист бумаги разделили на две части одним прямолинейным разрезом. Какую из перечисленных фигур нельзя получить после разрезания 1) квадрат 2) пятиугольник 3) шестиугольник 4) прямоугольный треугольник

9 лет назад

Предмет: Математика, автор: Akchanovn

№286
Найдите делимое,если:
а)делитель рвен 8,неполное чстное-7 и остаток-3
б)делитель равен 12,неплноое чстное-7 и остаток-2
№287
Инна живет в квартире №51.В её доме 5 этажей,поо 4 квартиры на каждом этаже.В каком подъезде и н каком этаже живёт Инна?

9 лет назад