В правильной треугольной пирамиде высота равна боковому ребру?

Конечно нет. гипотенуза не может быть равной катету. А боковое ребро является гипотенузой в  треугольнике сторонами которого есть боковое ребро пирамиды, высота пирамиды и проекция бокового ребра на основание.