В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90∘) медианы AD и CM перпендикулярны друг другу. Найти гипотенузу AB, если третья медиана BK равна 3√5.

медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
обозначим точку пересечения медиан М
тогда, МК = √5 (ВМ = 2√5) 
треугольник СМА -прямоугольный по условию, МК в нем -медиана.
медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы !! 
СА -гипотенуза треугольника СМА, СА = 2√5 ; СК = АК = √5 
треугольник ВСК -прямоугольный, по т.Пифагора:
ВС² = ВК² - СК² 
ВС² = (ВК-СК)(ВК+СК) = (3√5 - √5)(3√5 + √5) = 2√5 * 4√5 = 5*8 = 40 
ВА² = ВС² + СА² = 40 + (2√5)² = 40+20 = 60
ВА = √60 = 2√15