У шахматной доски отпилены два поля: левое нижнее и правое верхнее. Можно ли покрыть такую шахматную доску плитками размером 2х1?

Ни в коем случае. Мы можем доказать это строго логический. Левое нижнее и правое верхнее поля обе белые. И если их отпилить, то останется всего 30 белых клеток и 32 черных(в нормальном состоянии белых и черных по 32 поля).
Каждая плитка которая вы поставите на доску будет покрывать ровно одну белую и одну черную часть и никак иначе. Из этого следует что если белых на два меньше, то в любом случае останется хотя бы одна черная часть которая останется без плитки, так как пара в виде белого поля для него у же не будет.