Предмет: Алгебра, автор: stasbrega

Найдите все числа N (N<1000000), чтобы N был чётным, кубический корень из N был натуральным числом и чтобы корень N/2 был натуральным числом.

П.с. Решил в паскале и получилось 8 чисел (8 512 5832 32768 125000 264992 373248 941192). Но мне надо именно как они получаются!

Ответы

Автор ответа: Selena228

Три условия

$N = 2p\ N = q^3\ N = 2r^2$

Итак, первое условие выполнится, если выполнится третье, поэтому сосредоточимся на последних двух

$N = q^3 = 2r^2$

Как видим, q обязано делиться на 2. Поэтому

$q = 2q_1\ 8q_1^3 = 2r^2\ 4q_1^3 = r^2$

Теперь и r должно делиться на 2, чтобы r^2 делилось на 4

$r = 2r_1\ q_1^3 = r_1^2$

Ну все, теперь задача найти все такие кубы $q_1^3$ , чтобы они еще были и квадратами. Тогда исходное число найдем в виде

$N = q^3 = 8q_1^3$

Заметим, что область поиска ограничена, ибо
$N textless 1000000\ 8q_1^3 textless 1000000\ q_1^3 textless 125000 = (50)^3 = (5sqrt{2})^6$

Куб числа q можно разложить на простые множители:
$q_1^3 = pi_1^{3m_1}pi_2^{3m_2}...pi_z^{3m_z}$

Чтобы это число было еще и квадратом, необходимо чтобы все степени простых чисел были еще и четными. То есть годятся 0, 6, 12 и так далее степени простых чисел. Одним словом, q_1^3 должно быть 6-й степенью некого натурального числа x, причем это число должно быть меньше 5√2≈7.07. Таких x существует ровно 7, и это ответ. Но ниже мы приведем все исходные числа

$x = 1,2,3,4,5,6,7\ N = 8q_1^3 = 8x^6 = 8, 512, 5832, 32768,125000,373248,941192$

Еще раз подчеркнем, что общая формула для чисел, удовлетворяющих условиям задачи

$N = 8x^6,qquad xinmathbb{N}$

Автор ответа: stasbrega

Но можно один маленький вопрос?

Автор ответа: stasbrega

Почему q_1^3 < 125000?

Автор ответа: Selena228

Ну N<1000000 ну прочитай решение, ну пожалуйста

Автор ответа: stasbrega

А всё понял, если N=8q_1^3, а N<1000000, to q_1^3<1000000/8 q_1^3<125000. Так получается?!

Автор ответа: Selena228

Ты умен не по годам

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос