Преобразовать периодическую дробь 0,31(5) в обыкновенную, используя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

0,31(5) = 0,31 + S, где 

S = 0,005 + 0,0005 +.....  -бескон. убыв. геометр. прогрессия с b1 = 0,005, 

q = 0,1

S = b1/(1-q) = 0,005/0,9 = 1/180

Тогда :

0,31(5) = 31/100  +  1/180 = (279 + 5) / 900  = 284/900 = 142/450

Ответ: 142/450.

0,31(5) = 0,31+ 0,005 + 0,0005 + 0,00005 + ...

0,005; 0,0005; 0,00005... - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 

b₁ = 0,005; q = 0,1

Sn = b₁/(1-q) 

Sn = 0,005/(1-0,1) = 0,005/0,9 = 1/180

0,31(5) = 0,31 + Sn = 31/100 + 1/180 = 279/900 + 5/900 = 284/900 = 71/225

Ответ. 71/225