Составить уравнение третьей стороны.

Даны уравнения двух сторон треугольника 5х+4у+15=0 и 4х+у-9=0
Его медианы пересекаются в точке (0;2). Составить уравнение третьей стороны треугольника.

Решение: Уравнение двух сторон треугольника нам известны

                           5х + 4у + 15 = 0 <=> y = -(5x + 15)/4
                                4х + у - 9 = 0 <=> y = 9 - 4x

Найдем одну из вершин треугольника, для этого найдем точку пересечения этих прямых
                                     (5x + 15)/4 = 4x - 9
                                          5x + 15 = 16x - 36
                                               11x = 51
                                                   x = 51/11
                             y = 9 - 4х =9 - 4*51/11= -105/11

Точка пересечения медиан треугольника определяется по формуле:                            (х₁ + х₂ + х₃)/3=х ,
                                            (у₁ + у₂ + у₃)/3=у
где (x₁;у₁),(x₂;у₂),(x₃;у₃) - координаты вершин треугольника

Подставим в эти уравнения известные координаты:
(х₁ + х₂ + х₃)/3=х
51/11 + х₂ + х₃ = 3*0
              х₂ + х₃= -51/11
 
(у₁ + у₂ + у₃)/3=у
-105/11 + у₂ + у₃ = 3*2
                у₂ + у₃ = 171/11                  

Так как y₂=-(5x₂ + 15)/4, a y₃ = 9 - 4x₃
то можно записать что
                у₂ + у₃= -(5x₂ + 15)/4 + 9 - 4x₃ = 171/11

Получили систему уравнений
{х₂ + х₃= -51/11                     
{-(5x₂ + 15)/4 + 9 - 4x₃ = 171/11

Умножаем первое уравнение на 5 второе уравнение на 4

{5х₂ + 5х₃= -255/11                      <=>      {5х₂ + 5х₃    = -255/11                  
{-5x₂ - 15 + 36 - 16x₃ = 684/11                 {-5x₂ - 16x₃ = 453/11

Суммируем первое и второе уравнение
                                5х₂ + 5х₃   = -255/11                  
                               -5x₂ - 16x₃ =  453/11
                                --------------------------
                                         -11х₃ = 198/11
                                             x₃= -18/11
Из первого уравнения находим х₂
х₂= -51/11 - х₃= -51/11 + 18/11 = -33/11 = -3 

y₂ = -(5x₂ + 15)/4 = -(5*(-3) + 15)/4 = 0

y₃ = 9 - 4x₃ = 9 - 4*(-18/11) = 9 + 72/11 = 171/11

Получили координаты оставшихся вершин треугольника 
(-3;0), (-18/11; 171/11)

Запишем уравнение третьей стороны как уравнение прямой проведенной через две точки

  (y - y₂)/(y₃ - y₂) = (x - x₂)/(x₃ - x₂)

   (y - 0)/(171/11 - 0) = (x + 3)/(-18/11 +3)

      11y/171 = 11(x +3)/15
  
      y/171 = (x + 3)/15

      у/57 = (х + 3)/5

      у = 57(х + 3)/5

     57x - 5y +171 = 0

Проверка
x₁ = 51/11, x₂ = -3, x₃ = -18/11

(х₁ + х₂ + х₃)/3 = (51/11 - 3 - 18/11)/3 = (33/11-3)/3 = (3 -3 )/3 = 0

y₁ = -105/11, y₂ = 0, y₃ = 171/11

(y₁ + y₂ + y₃)/3 = (-105/11 + 0 + 171/11)/3 = (66/11)/3 = 6/3 = 2

Если для УНИВЕРСИТЕТА - прощаю. такие задачи обычно сопровождаются графическим решением/проверкой. Примерно, как решаю их я - http://SSMaker.ru/fad03f99/

там есть это задание, посмотрите на 6 странице, под номером 26

Да есть. Извини, сразу не заметил.

Кто бы из вас КРАСИВО решил. Ясно и понятно, как бы в ОБЩЕМ виде. Как бы алгоритм решения, а не цифры. ИЛИ помочь.

Из первого уравнения находим х₂
х₂= -51/11 - х₃= -51/11 + 18/11 = -33/11=-3
y₂ = -(5x₂ + 15)/4 = -(5*(-3) + 15)/4 =0
y₃ = 9 - 4x₃ = 9 - 4*(-18/11) = 9 +72/11 = 171/11
Запишем уравнение третьей стороны как уравнение прямой проведенной через две точки
(y - y₂)/(y₃ - y₂) = (x - x₂)/(x₃ - x₂)
y/(171/11) = (x + 3)/(-18/11 +3)
11y/171 = (x +3)/(15/11)
y/171 = (x +3)/15
y/57 = (x +3)/5
y = 57x/5+171/5
57x- 5y+ 171/5 = 0

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ.
1. Точка пересечения прямых -  вершина треугольника - решение системы уравнений прямых-сторон.
2. Точка пересечения медины с противоположной  стороной -  координата D - среднее арифметическое координат вершин, которую надо разделить.
2) Высота -  коэффициент прямой у высоты 
k2 = - 1/k1 - и обратен по знаку и обратен по величине.

Спасибо за Ваши замечания. Вчера несколько раз хотел поправить свое решение и каждый раз вносил ошибки, на исправление которых не хватило времени.
Не совсем понятно, зачем в алгоритме решения определение высоты "2) Высота - коэффициент прямой у высоты
k2 = - 1/k1 - и обратен по знаку и обратен по величине."