Предмет: Математика, автор: spectre1903

Найти Аналитическую функцию f(z)=u+iv, если u=x^2-y^2+xy. Спасибо за помощь

Ответы

Автор ответа: nelle987

Проверяем, что u(x, y) — гармоническая:
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2-2=0$

Всё хорошо, значит, u(x, y) может быть действительной частью аналитической функции.

Условия Коши-Римана:
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y};\quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}=2y-x\\ v(x,y)=2xy-\dfrac{x^2}2+\varphi(y)$

$2x+\varphi'(y)=\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x+y\\ \varphi'(y)=y\\ \varphi(y)=\dfrac{y^2}2+C$

$v(x,y)=2xy-\dfrac{x^2}2+\dfrac{y^2}2+C\\ f(z)=u\left(\dfrac{z+\bar z}2,\dfrac{z-\bar z}{2i}\right)+iv\left(\dfrac{z+\bar z}2,\dfrac{z-\bar z}{2i}\right)\\\boxed{f(z)=\left(1-\dfrac i2\right)z^2+iC, \quad C\in \mathbb R}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Математика, автор: nagovskaliza

Яке число є цілим , але не натуральним
1 . 3,5
2. -15
3. 7
4 . 4

1 год назад

Предмет: Українська мова, автор: Barracuda777

Срочно!!! До поданих іменників доберіть синоніми.
Акредитація, актуальність, вимога, випадок, висновок, відгук, дозвіл, доказ, запитання, заступник, коментар, культура, нагода, оцінка, підстава, план, приклад, робота, становище, умова.

1 год назад

Предмет: Математика, автор: veronikafaustova396

(х+22/25) • 1/3 = -7 1/3

1 год назад

Предмет: История, автор: daraseren264

Количество воинов в римском легионе составляло __________ человек. Ответ запишите арабскими цифрами без пробелов и букв.

7 лет назад

Предмет: Математика, автор: atoankarina66

1 3/11 × (-2 7/16)
помогите!!!!

7 лет назад