Число состоит из 2011 единиц. Какой у него остаток при делении на 11?

Для начала вспомним признак делимости на 11:
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Посмотрим на число из 2011 единиц. Оно не подходит под признак делимости, а следовательно будет с остатком.
А вот число из 2010 единиц нацело поделится.
Теперь вычтем из числа с 2011 единицами число с 2010 единицами. Мы получим 1. Это и будет остаток от деления числа из 2011 единиц на 11.
Ответ: остаток 1.