Можно ли в таблице из 5 строк и 6 столбцов разместить числа от 1 до 30 (каждое по
одному разу) так, чтобы в каждом столбце сумма была меньше, чем в каждой строке?

Такая таблица возможна.
Сумма чисел от 1 до 30:     N = 15*31 = 465
Так как столбцов 6, то средняя сумма столбца:  465:6 = 77,5
             строк 5 и средняя сумма строки:  465:5 = 93
Очевидно, что 77,5 меньше, чем 93.

Пример такого размещения показан на рисунке. Синим цветом показана сумма строк, красным - сумма столбцов.