докажите по индукции, что для любого натурального числа n выполняется равенство: 2+4+6+...+2n=n(n+1)

Проверяем при n=1:   1(1+1) = 2  верно

Пусть утверждение верно при n=N: 1+2+4+...2N = N(N+1)

Проверим, верно ли утверждение при n = N+1:

1+2+4+...+2N  +2(N+1) = N(N+1) + 2(N+1) = (N+1)(N+2)    - верно

Значит исходное утверждение - верно.