Предмет: Алгебра, автор: ulyalyas

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х^2, у = 2 - х.

Ответы

Автор ответа: JuliaKovalchook

Сначала нужно выполнить чертеж (смотрите рисунок). Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y=4-x² и прямой y=2-x. Это можно сделать двумя способами:
Первый это посмотреть на график где линии пересекаются, второй это аналитический способ. В данном случае можно воспользоваться графическим способом, так как на графике ясно видно, что парабола и прямая пересекаются в точке (-1 ; 3) и (2 ; 0).Но бывают случаи, когда точкой пересечения будет, например, точка (-3,14 ; 1), тогда графически вы не сможете определить точки пересечения, в таком случае используется аналитический метод.
Попробуем применить аналитический способ для вычисления точек пересечения. Для этого мы приравниваем уравнения y=4-x² и y=2-x
4-x²=2-x
x²-x+2-4=0
x²-x-2=0
применим теорему Виета для решения квадратного уравнения
x₁+x₂=1
x₁x₂= -2
x₁=2
x₂= -1

Теперь посмотрим где расположена фигура. Нам важно, какой график выше (относительно другого графика), а какой – ниже.

Из графика видно, что выше расположена парабола y=4-x² , а ниже прямая y=2-x.

Формула для вычисления площади: $S= intlimits^a_b {(f(x)-g(x))} , dx$ где $f(x)$ это функция которая расположена выше, чем функция $g(x)$

таким образом для исчисления площади нужно взять интеграл

$intlimits^2_{-1} {((4- x^{2} )-(2-x))} , dx = intlimits^2_{-1} {(-x^{2} +x+2)} , dx = \ = (-frac{x^3}{3} +frac{x^2}{2} +2x) bigg|^2_{-1}= \ =(-frac{2^3}{3} +frac{2^2}{2} +2*2) -(-frac{(-1)^3}{3} +frac{(-1)^2}{2} +2(-1)) = \ \ =(-frac{8}{3} +frac{4}{2}+4) -(-frac{-1}{3} +frac{1}{2} -2) = -frac{8}{3} +2+4- frac{1}{3} -frac{1}{2} +2= \ \ = -frac{9}{3} +8-frac{1}{2} =-3+8- frac{1}{2}=5- frac{1}{2}=4 frac{1}{2}=4,5$