Исследовать функцию f(x) на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют.

Утверждение:

Функция  непрерывна в .

Доказательство:

Для всех , функция  является постоянной.

Следовательно, для всех  выполняется:

 

Т.е. данная функция непрерывна в .

Докажем что,



Для этого достаточно найти односторонние пределы:

 

Для всех  выполняется , следовательно:



Для всех  выполняется , следовательно:



Отсюда следует:



Следовательно,  непрерывна в .

Для всех , выполняется .

Следовательно, для всех  выполняется:



Т.е.  непрерывна в .

Таким же образом,  непрерывна в , т.к.:



Для всех .

Теперь докажем что  точка разрыва типа "скачок":

Для всех ,  следовательно:



Однако, для всех , . Следовательно:



Т.е. .

В итоге, получаем что  непрерывна в .

Ч.Т.Д.