Можно ли заменить в пяти равенствах вида ∗ + ∗ + ∗ =
= ∗ + ∗, все звездочки на натуральные числа от 1 до 25
так, чтобы все равенства получились верными, а каждое
из чисел использовалось ровно 1 раз?

Сложим все эти равенства и перенесем все слагаемые в одну сторону. Получится выражение вида 1*2*3*4*...*25=0, где * обозначает + или -.
Т.к. количество нечетных слагаемых в этом выражении нечетно (а именно 13 штук), то и вся сумма нечетная. Противоречие, т.к. 0 - четное число. Т.е. ответ: нельзя.