Предмет: Алгебра,
автор: yugolovin
Решить уравнение
корень 2017-й степени из (sin x) плюс корень 2018-й степени из (cos x) =1.
Извинение. В последнее время не удается записать условие задачи в TeX'е.
Не понимаю, в чем причина
Ответы
Автор ответа:
0
1) cosx≥0 - так как под корнем четной степени.
sinx≥0, так как иначе![sqrt[2017]{sinx} textless 0, sqrt[2018]{cosx} leq 1, sqrt[2017]{sinx} + sqrt[2018]{cosx} textless 1](https://tex.z-dn.net/?f=+sqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D++textless++0%2C++sqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D+leq+1%2C++sqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D+%2B++sqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D+textless+++1 "sqrt[2017]{sinx} textless 0, sqrt[2018]{cosx} leq 1, sqrt[2017]{sinx} + sqrt[2018]{cosx} textless 1")
Значит, решения могут быть только в I квадранте (включая границы).
2) Очевидно, что x1=2πn и x2=π/2+2πn являются решениями данного уравнения. В первом случае sinx=0, cosx=1, во втором sinx=1, cosx=0.
3) Покажем, что других корней быть не может.
Найдем производную функции
![f(x)=sqrt[2017]{sinx} + sqrt[2018]{cosx}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dsqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D+%2B+sqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D "f(x)=sqrt[2017]{sinx} + sqrt[2018]{cosx}")
![f'(x)=(sqrt[2017]{sinx} + sqrt[2018]{cosx})'= frac{cosx}{2017sqrt[2017]{sin^{2016}x} } -frac{sinx}{2018sqrt[2018]{cos^{2017}x} }](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%28sqrt%5B2017%5D%7Bsinx%7D+%2B+sqrt%5B2018%5D%7Bcosx%7D%29%27%3D+frac%7Bcosx%7D%7B2017sqrt%5B2017%5D%7Bsin%5E%7B2016%7Dx%7D+%7D+-frac%7Bsinx%7D%7B2018sqrt%5B2018%5D%7Bcos%5E%7B2017%7Dx%7D+%7D+ "f'(x)=(sqrt[2017]{sinx} + sqrt[2018]{cosx})'= frac{cosx}{2017sqrt[2017]{sin^{2016}x} } -frac{sinx}{2018sqrt[2018]{cos^{2017}x} }")
Так как x - в первом квадранте, то sinx постоянно возрастает, cosx постоянно убывает, значит "первая часть" в производной
![frac{cosx}{2017sqrt[2017]{sin^{2016}x} }](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7Bcosx%7D%7B2017sqrt%5B2017%5D%7Bsin%5E%7B2016%7Dx%7D+%7D "frac{cosx}{2017sqrt[2017]{sin^{2016}x} }")
постоянно убывает от +∞ (справа при стремлении к 0) до 0 (в π/2),
а "вторая часть"
![frac{sinx}{2018sqrt[2018]{cos^{2017}x} }](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7Bsinx%7D%7B2018sqrt%5B2018%5D%7Bcos%5E%7B2017%7Dx%7D+%7D+ "frac{sinx}{2018sqrt[2018]{cos^{2017}x} }")
постоянно возрастает от 0 (в 0) до +∞ при стремлении к π/2.
Это значит, что производная положительна до некого x_max на [0;x_max)
и отрицательна на (x_max;π/2], принимая одно нулевое значение в x_max на отрезке [0;π/2]
Так как на концах отрезка [0;π/2] рассматриваемая функция принимает значения, равные 1, во всех остальных точках отрезка [0;π/2] она принимает значения строго больше 1.
Следовательно, других корней исходного уравнения нет.
sinx≥0, так как иначе
Значит, решения могут быть только в I квадранте (включая границы).
2) Очевидно, что x1=2πn и x2=π/2+2πn являются решениями данного уравнения. В первом случае sinx=0, cosx=1, во втором sinx=1, cosx=0.
3) Покажем, что других корней быть не может.
Найдем производную функции
Так как x - в первом квадранте, то sinx постоянно возрастает, cosx постоянно убывает, значит "первая часть" в производной
постоянно убывает от +∞ (справа при стремлении к 0) до 0 (в π/2),
а "вторая часть"
постоянно возрастает от 0 (в 0) до +∞ при стремлении к π/2.
Это значит, что производная положительна до некого x_max на [0;x_max)
и отрицательна на (x_max;π/2], принимая одно нулевое значение в x_max на отрезке [0;π/2]
Так как на концах отрезка [0;π/2] рассматриваемая функция принимает значения, равные 1, во всех остальных точках отрезка [0;π/2] она принимает значения строго больше 1.
Следовательно, других корней исходного уравнения нет.
Интересные вопросы
Предмет: Английский язык,
автор: abdualidaniyar1
Предмет: История,
автор: ilyakrants
Предмет: История,
автор: viktoria2859
Предмет: Литература,
автор: Stghytuhf