Предмет: Алгебра, автор: Sar0808

Задание 7. Найти расстояние от точки М (1,2,3) до плоскости, проходящий через три точки АВС. А(5,6,-4) В(6,9,4) С (2,10,10).
Задание 8. Доказать что вектор а b c образуют базис ( линейно независимы) и найти разложение вектора х по этому базису . х=(7,1,9) а=(5,1,2) b=(8,1,-3) c=(-1,3,2)

Ответы

Автор ответа: NNNLLL54

1) A(5,6,4) , B(6,9,4) , C(2,10,10) .
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

$left|begin{array}{ccc}x-x_1&y-y_1&z-z_1\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1end{array}right| =0\\\left|begin{array}{ccc}x-5&y-6&z-4\1&3&0\-3&4&6end{array}right| =(x-5)cdot 18-(y-6)cdot 6+(z-4)cdot 13=0\\\18x-6y+13z-106=0$

Расстояние от точки М(1,2,3) до плоскости найдём по формуле:

$d=frac{|, Ax_0+By_0+Cz_0+D, |}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\d=frac{|18cdot 1-6cdot 2+13cdot 3-106|}{sqrt{18^2+6^2+13^2}}=frac{|-61|}{ sqrt{529} }=frac{61}{23} =2 frac{15}{23}$

2) Векторы образуют базис, если они ЛНЗ, то есть определитель, составленный из координат этих векторов отличен от 0 .

$vec{a}=(5,1,2); ,; ; vec{b}=(8,1,-3); ,; ; vec{c}=(-1,3,2)$

$Delta = left|begin{array}{ccc}5&1&2\8&1&-3\-1&3&2end{array}right| =5(2+9)-(16-3)+2(24+1)=92ne 0$

Векторы $vec{a}; ,; vec{b}; ,; vec{c}$ образуют базис. Значит, вектор $vec{x}$ можно разложить по данному базису.
Найдём координаты вектора $vec{x}=(7,1,9)$ в этом базисе, используя соотношение между векторами
$vec{x}= alpha cdot vec{a}+ beta cdot vec{b}+gamma cdot vec{c}$ .
В координатной форме это соотношение будет иметь вид:

$left{begin{array}{c}5 alpha +8 beta -gamma=7\ alpha + beta +3gamma =1\2 alpha -3 beta +2gamma=9end{array}right$

Решим систему методом Гаусса.

$left(begin{array}{ccc}1&1&3; ; |; 1\5&8&-1; |; 7\2&-3&2; ; |; 9end{array}right) sim left(begin{array}{ccc}1&1&3; ; |; 1\0&3&-16|, 2\0&-5&-4; ; |7end{array}right) ; leftbegin{array}{ccc}\cdot5\cdot 3end{array}right oplussim \\\ sim left(begin{array}{ccc}1&1&3; ; |; 1\0&3&-16, |; 2\0&0&-92; |; 31end{array}right) \\\-92gamma=31; ,; ; gamma=- frac{31}{92} \\3 beta =2+16gamma =2- frac{16cdot31}{92}=-frac{312}{92}; ,; ; beta =-frac{312}{92cdot 3}=-frac{312}{276}$

$alpha =1- beta -3gamma =1+frac{312}{276}+frac{3cdot 31}{92}=frac{867}{276}\\\vec{x}=frac{867}{276}cdot vec{a}-frac{312}{276}cdot vec{b}-frac{31}{92} cdot vec{c}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Алгебра, автор: gvobal2007

Установіть відповідність

6 лет назад

Предмет: Алгебра, автор: gvobal2007

Розв'яжіть нерівність

6 лет назад

Предмет: Физика, автор: turaevhusan7748

чему равна число витков провода катушки, если в ней образуется ЭДС индукции 2 В, при скорости изменения магнитной индукции 10 мВб/с