Предмет: Математика, автор: racoon19941PatrolMan

x*y'+y=x^3
помогите решить дифференциальные уравнения первого порядка.

Ответы

Автор ответа: Аноним

Для удобства поделим левую и правую части дифференциального уравнения на x:
$y'+ frac{y}{x} =x^2$
Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.

Данное дифференциальное уравнение можно решить двумя способами. Первое это метод Бернулли, а второе - метод Лагранжа. Приведу эти способы вместе.

Метод Бернулли.

Введём замену переменных $y=uv$ , тогда по правилу дифференцирования двух функций: $y'=u'v+uv'$ . Получим:

$u'v+uv'+ frac{uv}{x}=x^2$
$u'v+u(v'+frac{v}{x})=x^2$

Это решение состоит из двух этапов: 1) это принять второе слагаемое равным 0;
$v'+frac{v}{x}=0$ - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
$dfrac{dv}{v} displaystyle=- frac{dx}{x} ;~~~~Rightarrow~~~~ int frac{dv}{v}=-int frac{dx}{x} ;~~~~Rightarrow~~~~ ln|v|=-ln|x|$
откуда получаем $v= frac{1}{x}$

Поскольку второе слагаемое равняется нулю, то подставив найденную функцию v(x) в уравнение, получим

$u'cdot frac{1}{x} =x^2\ \ u'=x^3\ \ u=displaystyle int x^3dx= frac{x^4}{4} +C$

Тогда, осуществив обратную замену, общее решение данного ДУ:

$y=bigg(displaystyle frac{x^4}{4} +Cbigg)cdot frac{1}{x} =frac{x^3}{4} + frac{C}{x}$

Метод Лагранжа.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
$y'+ frac{y}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные и проинтегрировав, получим общее решение однородного уравнения:
$displaystyle int frac{dy}{y} =-int frac{dx}{x} ;~~~~~Rightarrow~~~~~ y= frac{C}{x}$

Примем константу за функцию, т.е. $C=C(x)$ и имеем $y= dfrac{C(x)}{x}$
Тогда дифференцируя по правилу частности двух функций, получим
$y'=dfrac{xC'(x)-C(x)}{x^2}$

И тогда, подставив эти данные в исходное уравнение, получаем

$dfrac{xC'(x)-C(x)}{x^2} + dfrac{C(x)}{x^2} =x^2\ \ \ C'(x)=x^3;~~~~Rightarrow~~~~ C(x)=displaystyle int x^3dx= frac{x^4}{4}+C_1$

И, вернувшись к обратной замене, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения:
$y=displaystyle frac{frac{x^4}{4}+C_1 }{x} = frac{x^3}{4}+ frac{C_1}{x}$