Предмет: Алгебра, автор: nikita000999

$\int\limits^a_b { \frac{cos ^{2}x}{ e^{3x} } } \, dx =$
Решить как неопределенный.Дифференцировал по частям, получается какой-то бесконечный цикл.Может можно легче?

Ответы

Автор ответа: NNNLLL54

Cначала вычислим неопределённый интеграл, а уже потом , найдя первообразную, определённый.

$\int \frac{cos^2x}{e^{3x}} \, dx=\int e^{-3x}\cdot \frac{1+cos2x}{2} \, dx=\frac{1}{2}\cdot \int e^{-3x}\, dx+\frac{1}{2}\cdot \int e^{-3x} \cdot cos2x\, dx=\\\\=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}e^{-3x}+\frac{1}{2}\cdot \underbrace {\int e^{-3x}\cdot cos2x\, dx}_{Q}=- \frac{1}{6}\cdot e^{-3x}+\frac{1}{2}\cdot Q\; .$

$Q=\int e^{-3x}\cdot cos2x\, dx=\Big [\, u=e^{-3x},\; du=-3e^{-3x}dx,\, dv=cos2x\, dx,\\\\v=\int dv=\frac{1}{2}sin2x\, \Big ]=uv-\int v\, du=\\\\=\frac{1}{2}e^{-3x}\, sin2x+\frac{3}{2}\int e^{-3x}sin2x\, dx=\\\\=\Big [\, u=e^{-3x},\; du=-3e^{-3x}\, dx,\; dv=sin2x\, dx,\; v=-\frac{1}{2}cos2x\, \Big ]=\\\\=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x+\frac{3}{2}\cdot \Big (-\frac{1}{2}e^{-3x}cos2x-\frac{3}{2}\int e^{-3x}cos2x\, dx\Big )=\\\\=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x-\frac{9}{4}\underbrace {\int e^{-3x}cos2x\, dx}_{Q}.$

$Q=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x-\frac{9}{4}\cdot Q\\\\Q+\frac{9}{4}\cdot Q=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x\\\\\frac{13}{4}\cdot Q=\frac{1}{2}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{4}e^{-3x}cos2x\\\\Q=\frac{2}{13}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{13}e^{-3x}cos2x\\\\\\\int \frac{cos^2x}{e^{3x}}\, dx=-\frac{1}{6}e^{-3x}+\frac{1}{2}\cdot \Big (\frac{2}{13}e^{-3x}sin2x-\frac{3}{13}e^{-3x}cos2x\Big )=\\\\=e^{-3x}\cdot \Big (-\frac{1}{6}+\frac{1}{13}sin2x-\frac{3}{26}cos2x\Big )$

$\int\limits^a_b \frac{cos^2x}{e^{3x}} \, dx=e^{-3a}(-\frac{1}{6}+\frac{1}{13}sin2a-\frac{3}{26}cos2a)-\\\\-e^{-3b}\cdot (- \frac{1}{6}-\frac{1}{13}sin2b-\frac{3}{26}cos2b)$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Английский язык, автор: nyirileszkag

міні текст чому я люблю школу 7-9 речень

6 лет назад

Предмет: Қазақ тiлi, автор: 21hwjcs01

5-тапсырма. Абай туралы белгілі ғалымдардың ойларын дәптерге жазып, түсінгендеріңді талдап, айтып беріңдер

6 лет назад

Предмет: Английский язык, автор: vm145077

Describe the men 1)Does he have fair hair? 2)Is he tall? 3)Is he fat? 4)Does he have good eyesight? 5)Is he healthy? 6)Is he in fit? 7)Is he funny? 8)Is he intelligent помогите пожалуйста

6 лет назад

Предмет: История, автор: АскольдЛяпин

Что можно назвать памятником природы?

9 лет назад

Предмет: Алгебра, автор: реформыпетра

переметор квадрата 32см сторону этого квадрата увеличели 2 раза ск ?

9 лет назад