Предмет: Математика, автор: Алёнушка43

Определить какой из рядов сходится и указать тип сходимости.
1) (-1)^n+12^n/3^n+n

2) (-1)^nn^4/n^4+3n^2+1

Помогите,пожалуйста

Приложения:

Ответы

Автор ответа: NNNLLL54

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}\cdot 2^{n}}{3^{n}+n}\\\\Priznak\; Lejbnica:\; \; a)\; \lim\limits _{n \to \infty} |a_n |= \lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{2^{n}}{3^{n}+n}= \lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{2^{n}\cdot ln2}{3^{n}\cdot ln3+1}=\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\,\frac{2^{n}\cdot ln^22}{3^{n}\cdot ln^23}=\frac{ln^22}{ln^23}\cdot \lim\limits _{n \to +\infty}\, \Big (\frac{2}{3}\Big )^{n}=\frac{ln^22}{ln^23}\cdot 0=0$

$b)\; \; |a_1|\ \textgreater \ |a_2|\ \textgreater \ a_3|\ \textgreater \ \ldots \ \textgreater \ |a_{n}|\ \textgreater \ \ldots \\\\\frac{2}{3+1}\ \textgreater \ \frac{2^2}{3^2+1}\ \textgreater \ \frac{2^3}{3^3+1}\ \textgreater \ \ldots \ \textgreater \ \frac{2^{n}}{3^{n}+1}\ \textgreater \ \ldots$

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница.
Ряд будет абсолютно сходящимся, т.к. для ряда, составленного из абсолютных величин выполняется признак Даламбера:

$\lim\limits _{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \lim\limits _{n \to \infty}(\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}+n+1}:\frac{2^{n}}{3^{n}+1})= \lim\limits _{n \to \infty}\frac{2^{n}\cdot 2(3^{n}+1)}{(3^{n+1}+n+1)\cdot 2^{n}}= \\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2(3^{n}+1)}{3^{n+1}+n+1}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2\cdot 3^{n}\cdo ln3}{3^{n+1}\cdot ln3+1}=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2\cdot 3^{n}\cdot ln^23}{3^{n+1}\cdot ln^23}=\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\frac{2\cdot 3^{n}ln^23}{3^{n}\cdot 3ln^23}=\frac{2}{3}<1$

$2)\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot n^4}{n^4+3n^2+1}\\\\Priznak\; Lejbnica:\\\\a)\; \lim\limits _{n \to \infty}\frac{n^4}{n^4+3n^2+1}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{1}{1+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^4}}=1\ne 0\; \; \Rightarrow$

так как не выполняется 1 пункт признака Лейбница, то нет смысла проверять 2 пункт. Вывод: знакочередующийся ряд расходится.

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Химия, автор: cergthybun

Смесь карбоната, сульфата и нитрита одного и того же металла массой 36 г разделили на две равные части. Первую часть
растворили в избытке соляной кислоты. Выделившиеся газы пропустили через 400 г 20%-ного водного раствора гидроксида калия.
В результате массовые доли всех солей в растворе (1) оказались равны. Вторую часть смеси растворили в воде и добавили избыток
раствора хлорида бария. В результате реакции выпал осадок (2), молярные доли солей в котором оказались равны. Известно, что
содержание сульфата металла в исходной смеси на 3 г больше, чем нитрита.

6 лет назад

Предмет: История, автор: fsdada7159

Найдите и объясните ключевое слово:

1. в выдержке из доклада виленского генерал-губернатора Ф.Я. Мирковича российскому императору Николаю І: « две весьма важные меры, своевременно приведенные в исполнение, значительно содействовали сохранению в последнее время полного спокойствия в крае созданием твердой преграды злоумышленным намерениям подстрекать крестьян против существующей власти. Меры эти таковы перевод государственных крестьян на поземельное оброчное положение и введение правильных инвентарей в помещичьих имениях. Перв

6 лет назад

Предмет: История, автор: AMDILOVEYOU

Почему найманы проиграли монголам? Дам 25 баллов

6 лет назад