Предмет: Математика, автор: andrei15181

Исследуйте функцию и построить ее график. Тема дифференциалы и интегралы.

Приложения:

Ответы

Автор ответа: xERISx

$y = \frac{x^3}{(x+1)^2}$

1. Область определения (x+1)² ≠ 0  ⇒ x≠-1 ⇒
D(y) : (-∞; -1)∪(-1; +∞)

2.
$\lim_{n \to -1+0} \frac{x^3}{(x+1)^2}=- \infty$ ⇒
x = -1   Точка бесконечного разрыва ⇒
Вертикальная асимптота x = -1

Наклонные асимптоты y = kx + b
$k = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^3}{x(x+1)^2} = \\ \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{(x+1)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{x^2+2x+1}= \\ \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{x^2}{x^2}}{ \frac{x^2}{x^2}+ \frac{2x}{x^2}+ \frac{1}{x^2} }= \lim_{n \to \infty} \frac{1 }{1+ \frac{2}{x}+ \frac{1}{x^2} } \\ \\ k= \frac{1}{1+0+0} =1$
$b = \lim_{n \to \infty} (f(x)-kx)= \lim_{n \to \infty} (\frac{x^3}{(x+1)^2} -x)= \\ \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{x^3-x^3-2x^2-x}{x^2+2x+1} = -\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2+x}{x^2+2x+1} = \\ \\ = -\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{2x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2} }{ \frac{x^2}{x^2}+ \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} } = -\lim_{n \to \infty} \frac{2+ \frac{1}{x} }{1+ \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} } \\ \\ b= -\frac{2+0}{1+0+0} =-2$
Одна наклонная асимптота y = x-2

3. Нули функции
$y = \frac{x^3}{(x+1)^2} =0; x=0$

4. Чётность/нечётность
$f(-x)= \frac{(-x)^3}{(-x+1)^2} = -\frac{x^3}{(1-x)^2}$
Функция общего вида: не является чётной, не является нечётной.
Функция не является периодической

5. Экстремумы функции
$y'= (\frac{x^3}{(x+1)^2} )'= \frac{3x^2(x+1)^2-x^3*2*(x+1)}{(x+1)^4} \\ \\ y'= \frac{x^2(x+1)(3(x+1)-2x)}{(x+1)^4} = \frac{x^2(x+1)(x+3)}{(x+1)^4} \\ \\ y'= \frac{x^2(x+3)}{(x+1)^3} =0$
x²(x+3) = 0
x₁ = 0; y₁ = 0/1 = 0
x₂ = -3; y₂ = (-3)³/(-3+1)² = -6,75
1) x∈(-1;0) y' >0; x∈(0; +∞) y' > 0  ⇒
Первая производная знак не меняет ⇒ экстремума в точке нет
2) x∈(-∞; -3) y' >0; x∈(-3; -1) y' < 0 ⇒
Первая производная в точке x = -3 меняет знак с "+" на "-" ⇒
точка (-3; -6,75) - максимум функции

6. x∈(-∞; - 3) y' > 0 функция возрастает
x∈(-3; -1) y' < 0 функция убывает
x∈(-1; +∞) y' > 0 функция возрастает

7. Точки перегиба
$y''= (\frac{x^3+3x^2}{(x+1)^3})' = \frac{(3x^2+6x)(x+1)^3-(x^3+3x^2)*3*(x+1)^2}{(x+1)^6} = \\ \\ = \frac{3(x+1)^2((x^2+2x)(x+1)-(x^3+3x^2))}{(x+1)^6} = \\ \\ = \frac{3(x^3+3x^2+2x-x^3-3x^2)}{(x+1)^4} = \frac{3(2x)}{(x+1)^4} \\ \\ y''= \frac{6x}{(x+1)^4} =0$
6x = 0  ⇒ x = 0 - точка перегиба

x∈(-∞; -1) y'' < 0 график функции выпуклый
x∈(-1;0)    y'' < 0 график функции выпуклый
x∈(0; +∞) y'' > 0 график функции вогнутый

Приложения:

Аноним: Пунктирным нужно показать наклонную и вертикальную асимптоту + добавить что-то о горизонтальной асимптоте

xERISx: горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты (y=kx+b) при k=0. Отдельным пунктом нет смысла её описывать, так как в данном случае k=1.