в каких случаях пишется "to" с инфинитивом, "to" без инфинитива и когда пишется инговое (ing) окончание. Привести 2-3 примера

Частица 'to' пишется в следующих случаях :
- с глаголами, которые употребляются с данной частицей ( afford, fail, agree, learnt, hope, refuse, promise, want, would, etc, полный список можно найти в интернете )
- с глаголами make, let, feel, see в пассивном залоге.
С прилагательными to be happy to, to be glad to, etc.

'To' без инфинитива:
- после модальных глаголов ( can, must, might, etc);
- после make, let, see, feel в активном залоге;
- после would rather, had better;
- после why not.

Герундий употребляются после глаголов : finish, risk, suggest, admit, practice, etc. После предлогов : at, in, before, after about, etc.