Предмет: Алгебра, автор: r091995

Вычислите интеграл

$intlimits^ frac{ pi }{2} _ {0} , frac{cosdx}{2sinx+1}$

Ответы

Автор ответа: bearcab

0

Заметим, что подынтегральная функция нигде в промежутке $[0,frac{pi}{2}]$ не обращается в бесконечность. То есть подынтегральная функция интегрируема по Риману в данном промежутке.

$cos x,dx=d(sin x)$

$int_0^frac{pi}{2}frac{cos x,dx}{2sin x+1}=int_0^frac{pi}{2}frac{dsin x}{2sin x+1}=$

$=int_0^frac{pi}{2}frac{frac{1}{2}d(2sin x)}{2sin x+1}=frac{1}{2}int_0^frac{pi}{2}frac{d(2sin x)}{2sin x+1}=frac{1}{2}int_0^frac{pi}{2}frac{d(2sin x+1)}{2sin x+1}=$

Можно заметить, что подынтегральная функция теперь имеет вид:
$intfrac{dt}{t}=ln|t|$
Получается, что
$=frac{1}{2}ln(2sin x+1)|_0^frac{pi}{2}=frac{1}{2}(ln|2sinfrac{pi}{2}+1|-ln|2sin 0+1|)=$

$=frac{1}{2}(ln|3|-ln|1|)=frac{ln 3}{2}$

Ответ: $frac{ln 3}{2}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Биология, автор: nazarharchuk160108

2. Яке значення мають молюски у природі та житті людини?

6 лет назад

Предмет: Математика, автор: anya12926

Если в трапеции куты при основы ровные то такая трапеция

6 лет назад

Предмет: Математика, автор: KurochkaGrill

На фабрике бетонных кубиков выпускают кубики размером 10×10×10 сантиметров. Раз в десять секунд конвейер выпускает очередной бетонный кубик, и работник аккуратно ставит его на ленту транспортёра. Скорость ленты транспортёра настроена так, что расстояние между кубиками — ровно 12 сантиметров. В среду с утра настройщик транспортёра случайно ошибся, и теперь лента движется в 3 раза быстрее. Каково будет расстояние между кубиками теперь?

6 лет назад

Предмет: Биология, автор: zero130964

куропатка мужского пола

10 лет назад

Предмет: Математика, автор: томас2002

3 3 3 3 3 = 100 какие знаки поставить

10 лет назад