докажите, что выражение y^2-2y+5 при любых значениях у принимает положительные значения.

y^2-2y+5 = ( y - 1 )^2 + 4 
--------------
( y - 1 )^2 ≥ 0 
4 > 0

График - парабола.
у²-2у+5=0
D=(-2)²-4•1•5=4-20=-16<0
Значит график не пересекает ось абсцисс (Ох).
Коэффициент а=1, следовательно, ветви направлены вверх.
Значит весь график будет лежать над осью абсцисс (Ох).
Следовательно, выражение у²-2у+5>0 при любом значении у.