Синтаксический разбор:
1. Живут долго
2. Вот уже более тысячи лет весь восточный славянский мир учиться читать и писать благодаря азбуке Кирилла и Мефодия.

Часть речи
Часть речи слова живут — глагол.

Морфологические признаки

Начальная форма: жить (инфинитив);

Постоянные признаки: 2-е спряжение, непереходный, несовершенный вид;

Непостоянные признаки: изъявительное наклонение, множественное число, настоящее время, 3-е лицо.

Синтаксическая роль
Может быть различным членом предложения, смотрите по контексту.