1-2+3-4+.....+2017-2018+2019

не будем рассматривать задачу как олимпиадную и решим "в лоб".
Рассмотрим две арифметические прогрессии.
1. a1 = 1; a2 = 3; an = 2019; d=2. Формула n-го члена: an = 1 + 2(n-1). Вычислим n.
2019 = 1 + 2n - 2;
2n = 2020;
n = 1010.
Найдем сумму 1010 членов этой прогрессии: S1 = (a1+an)*n/2 = (1+2019)*1010/2=1020100.

2. a1 = 2; d = 2; an=2018. an = 1 + 2(n-1). Вычислим n.
2018 = 2 +2n -2;
2n=2018;
n=1009.
Найдем сумму 1009 членов этой прогрессии: S2 = (a1+an)*n/2 = (2+2018)*1009/2=1018083.

Искомое выражение вычислим как разность S1-S2:
S1-S2 = 1020100 - 1018083 = 2017.
Ответ: 2017.