объясните пожалуйста почему мы не рассматриваем область значения arctg (-pi/2;pi/2)

А зачем? При решении уравнения, необходимо указать ОДЗ: арктанген определен при любых иксах, а арксинус определен, только тогда, когда аргумент находится в пределах от -1 до 1, что и было показано в решении