Предмет: Математика, автор: Аноним

Решить уравнение
(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=4

Ответы

Автор ответа: Единорожек34
3
(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=4 |*(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x\\1 + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2x} =4(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x\\(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=t (t>0)\\t^2-4t+1=0\\D/4=4-1=3\\t_1=2+\sqrt{3} \\ t_2 = 2-\sqrt{3}\\ \\ (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=t \\ \\ 1) (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 2+\sqrt{3} |* (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x\\ 1 = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x+2}\\x+2=0\\x=-2\\\\2) (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x= 2-\sqrt{3}\\x=2

Ответ: ±2
Автор ответа: Аноним
15

\tt \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^x+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=4

\tt \left(\dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}\right)^x+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=4\\ \\ \dfrac{1}{\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x}+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=4


Пусть \tt \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=t , тогда получим

\tt \dfrac{1}{t}+t=4~~~\bigg|\cdot t\ne 0\\ \\ t^2-4t+1=0\\ t^2-4t+4-3=0\\ (t-2)^2=3\\ \\ t=2\pm\sqrt{3}

Возвращаемся к обратной замене

\tt \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=2-\sqrt{3}\\ \\ \left(2-\sqrt{3}\right)^{0.5x}=2-\sqrt{3}\\ \\ 0.5x=1\\ x=2


\tt \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^x=2+\sqrt{3}\\ \\ \left(2-\sqrt{3}\right)^{0.5x}=(2-\sqrt{3})^{-1}\\ \\ 0.5x=-1\\ x=-2



Ответ: ±2.

Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Геометрия, автор: kairaaira112
помогите, срочно надо, дам 70 бл​
6 лет назад
Предмет: Русский язык, автор: saksako
Срочно до завтра утром в 8:30 надо ус только надо 1 если текст другой то скажите
6 лет назад
Предмет: Английский язык, автор: prostatinae
поставь буквы в правильном порядке ​
6 лет назад
Предмет: История, автор: biden1
сочинение про Гай Юлия Цезаря ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!
9 лет назад
Предмет: Математика, автор: ксюшанико
как решить задачу для поливки огорода в засушливую погоду необходимо принести из колодца 240 литров воды. За сколько времени можно сделать, если ходить к колодцу с двумя ведрами по 8 литров в каждой и в час совершать пять-таких ходок
9 лет назад