Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; в) внутренний угол В;
г) уравнение медианы АЕ; д) уравнение и длину высоты СD; е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне AB и точку М ее пересечения в высотой CD
А(1;-2) B(4;2) C(5;0)
Ответы
Даны координаты вершин треугольника АВС: А(1;-2) B(4;2) C(5;0).
а) длина стороны АВ = √((4-1)² + (2-(-2))²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
АВ: (х - 1)/3 = (у +2)/4 это каноническое уравнение,
4х - 4 = 3у + 6
4х - 3у - 10 = 0 уравнение общего вида,
у = (4/3)х - (10/3) уравнение с угловым коэффициентом, к = 4/3.
ВС: (х -4)/1 = (у -2)/(-2),
-2х + 8 = у - 2,
2х + у - 10 = 0,
у = -2х + 10, к = -2.
в) внутренний угол В. Его можно найти двумя способами.
1. Находим длины сторон, используя их канонические уравнения, где в знаменателях координаты векторов.
АВ = √(3² + 4²) = 5.
ВС = √(1² + (-2)²) = √5.
АС = √(16 + 4) = √20 = 2√5.
cos B = (25 + 5 - 20)/(5*2√5) = 10/10√5 = √5/5.
B = 1,107148718 радиан = 63,43494882 градусов .
2. По углу между векторами с учётом, что ВА = -АВ.
cos B = (ax*bx + ay*by)/(|a|*|b|) = (3*(-1) + 4*2)/(5*√5) = 5/(5√5) = √5/5.
г) уравнение медианы АЕ.
Находим координаты точки Е как середины ВС.
Е (4,5; 1).
АЕ = (х - 1)/(3,5) = (у + 2)/3 или с целыми коэффициентами
(2х - 2)/7 = (у + 2)/3,
6х - 6 = 7у + 14
6х - 7у - 20 = 0,
у = (6/7)х - (20/7).
д) уравнение и длину высоты СD;
к(СД) = -1/к(АВ) = -1/(4/3) = -3/4.
у(СД) = (-3/4)х + в. Для определения "в" подставим координаты точки С, принадлежащей этой прямой.
5 = (-3/4)*0 + в,
в = 5, отсюда уравнение СД = (-3/4)х + 5.
е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне AB и точку М ее пересечения в высотой CD .
Е (4,5; 1), А(1;-2) B(4;2). Прямую обозначим ЕК. Это средняя линия треугольника. к(ЕК) = к(АВ).
ЕК = (4/3)х + в. Подставим координаты точки Е.
1 = (4/3)*4,5 + в, в = 1 - 6 = -5. ЕК = (4/3)х - 5.
Для определения координат точки М (пересечения ЕК и высоты CD), приравняем их уравнения .
(4/3)х - 5 = (-3/4)х + 5,
(16х + 9х)/12 = 10,
хМ = 120/25 = 24/5 = 4,8.
уМ = (4/3)*(24/5) - 5 = 32/5 = 6,4.