Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами быть равным 2010? 

нет!если хочешь напиши именно пример который надоо  решить!

Не может. Д=a^2-4bc. Поскольку на конце 2010 стоит четное число, а 4bc - четное и делится на 4, то a^2 тоже четно, причем делится на 4. Однако 2010 по признаку делимости на 4 на 4 не делится. Значится такого быть не может