Основание BC трапеции ABCD равно боковой стороне AB и в два раза меньше основания AD. Найдите величину угла ACD.
Ответы
пусть точка О - середина основания AD
проведем отрезок СО
так как BC в два раза меньше AD то АО=BC
так как ABCD - трапеция то AD║BC
Теорема. если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны то этот четырехугольник параллелограмм
⇒ABCO - параллелограмм
в параллелограмме противоположные стороны равны ⇒СО=АВ
а так как BC=AB то СО=BC и АО=ОС=ОД ⇒ О - центр описанной около треугольника АСD окружности.
Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника то такой треугольник прямоугольный и сторона является гипотенузой.
⇒АСD - прямоугольный треугольник с гипотенузой AD ⇒ ∠ACD прямой. ∠ACD=90°
Пусть M - середина AD. Также соединим CM и BM.
Рассмотрим ABCM: AM = BC (так как AM = 0.5AD по построению, BC = 0.5AD по условию), AM || BC ⇒ ABCM - параллелограмм. В нём AB = CM по свойству, AB = BC по условию ⇒ AB = BC = CM = AM ⇒ ABCM - ромб ⇒ AC ⊥ BM.
Рассмотрим BCDM: BC = MD (так как MD = 0.5AD по построению, BC = 0.5AD по условию), BC || MD ⇒ BCDM - параллелограмм ⇒ CD || BM ⇒ ∠AOM = ∠ACD = 90° как соответственные.
Ответ: 90°
