будет ли работать электромагнит если по проводу катушки будет идти переменный ток

Будет, но и магнитное поле в таком случае будет переменным.

Электромагнит должен быть рассчитан на переменный ток, это в большем случае задается свойствами магнитопровода, то есть сердечником....