Предмет: Математика, автор: Rishat20

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
y=x/2 + cosx [0;П]
желательно более подробно

Ответы

Автор ответа: moboqe

$\displaystyle y={x\over2}+\cos{x},\;\; [0;\pi]\\\\y'=-\sin{x}+{1\over2}\\-\sin{x}+{1\over2}=0\\\sin{x}={1\over2}\\x_1={\pi\over6}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z},\;\;\;x_2={5\pi\over6}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}\\\\$

Очевидно, что в отрезок $[0;\pi]$ входят только ${\pi\over6}$ и ${5\pi\over6}$

$\displaystyle y\left({\pi\over6}\right)={\pi\over12}+\cos{\pi\over6}={\pi\over12}+{\sqrt{3}\over2}\approx1.13\\\\y\left({5\pi\over6}\right)={5\pi\over12}+\cos{5\pi\over6}={5\pi\over12}-{\sqrt{3}\over2}\approx0.44\\\\$

Также нужно проверить границы отрезка:

$\displaystyle y(0)=0+\sin{0}=1\\y(\pi)={\pi\over2}+\cos{\pi}={\pi\over2}-1\approx0.57$

Таким образом:

$\displaystyle\max{y}=y\left({\pi\over6}\right)={\pi\over12}+{\sqrt{3}\over2}\approx1.13\approx1.13\\\\ \min{y}=y\left({5\pi\over6}\right)={5\pi\over12}-{\sqrt{3}\over2}\approx0.44$