Предмет: Геометрия, автор: DagyBagy

В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием 34 дм и боковой стороной 32 дм. Найдите высоту пирамиды, если боковые грани образуют с основанием двугранные углы 45 градусов.

Ответы

Автор ответа: 2ReCKey

Если все грани пирамиды находятся под одинаковым углом к основанию, значит вершина S пирамиды должна быть равноудалена от всех сторон основания пирамиды=> проекция точки S, точка O также должна быть равноудалена от всех сторон пирамиды, значит она находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника который лежит в основании.

Допустим AB=BC=32 дм, тогда из точки B опустим высоту/биссектрису/медиану BH на основание AC, так как O∈BH и BH⊥AC=> по теореме о трех перпендикуляров SH будет ⊥ AC.

Угол OHS двугранный=45° по условию.

--------

Треугольник SOH прямоугольный т.к. SO⊥плоскости(ABC)=>SO⊥OH.

так-же он равнобедренный так-как ∠OSH=180-90-45=45=∠SHO, значит высота SO=OH.

Задача свелась к простейшей планиметрической задаче по нахождению OH.

---------------------

сделаем вынос Треугольника ABC:

AO биссектриса, BH-медиана/высота.

По теореме пифагора:

$BH=\sqrt{32^2-17^2}=\sqrt{(32-17)(32+17)}=\sqrt{15*49}=7\sqrt{15}$

Из свойств биссектрисы для треугольника ABH:

$\frac{HO}{OB}=\frac{AH}{AB}=\frac{17}{32}\\OB=\frac{32*HO}{17} \\-------\\BH=OB+HO=\frac{49*OH}{17}=7\sqrt{15}\\ OH=OS=\frac{17\sqrt{15} }{7}$

Ответ: $\frac{17\sqrt{15} }{7}$

--------------

Если что-то непонятно задай вопрос.

Приложения:

DagyBagy: Здравствуйте. В ответах написано " h = 9,7 дм. Для нахождения площади треугольника используйте формулу Герона и формулу S = pr, где p = (a+b+c)/2 .

2ReCKey: Конечно можно и так решить, мы сказали в самом начале что точка S проецируется в точку пересечения биссектрис треугольника, эта точки заодно будет являться центром вписанной окружности в этот треугольник, значит OH это радиус вписанной окружности (хотя это надо доказать по хорошему). Дальше говорим что BH=7√15, и площадь треугольника=AC*BH/2=119√15 или с помощью другой формулы это S=p*r; p=(32+32+34)/2=49; отсюда r=S/p=(17√15)/7

2ReCKey: Пойми что задачу можно было решить разными способами не обязательно так как говорится в учебнике, к сожалению в России большинство учителей, вместо того чтобы заставить ребенка мыслить логически и проявлять фантазию в решении задач, заставляют его просто заучивать формулы которые он будет не способен понимать где использывать

DagyBagy: Полностью согласен с Вами. Очень благодарен, что все описали рассказали, спасибо большое.

2ReCKey: Конечно можно было и через формулу герона: S=p*r=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) => r=√((p-a)(p-b)(p-c)/p)=√((49-34)(49-32)(49-32)/49)=(17√15)/7