Предмет: Алгебра, автор: yanakishkina99

числа x и y положительные, при чем x+y=5. Какое найменшее значение может принимать выражение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Ответы

Автор ответа: Аноним

x + y = 5 отсюда y = 5 - x.

Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{5-x}$

Производная функции: $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(5-x)^2}$ и приравняем ее к нулю.

$-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(5-x)^2}=0~~~\bigg|\cdot x^2(5-x)^2\ne0\\ \\ x^2-(5-x)^2=0\\ \\ (x-5+x)(x+5-x)=0\\ 5(2x-5)=0\\ x=2.5$

(0)____-_____(2.5)____+___(5)___+___

В точке x = 2.5 производная функции меняется знак с (-) на (+), следовательно, x = 2.5 - относительный минимум.

y = 5 - 2.5 = 2.5

Ответ: при $x = y = 2.5$ выражение $\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$ принимает наименьшее значение.

Второй способ. (без производной)

Для x,y> 0 применим неравенство Коши

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\\\ \dfrac{x+y}{xy}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \dfrac{5}{xy}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \sqrt{xy}\leq\dfrac{5}{2}$

При этом равенство достигает наименьшего значения при $x=y=\dfrac{5}{2}$

yanakishkina99: там где ____ типо пропуск между ними или как?

Аноним: Это числовая прямая.

Аноним: Как вы решаете и метод интервалов

yanakishkina99: я хз, это олимпиада я ниче не знаю

yanakishkina99: 8кл

Аноним: Тогда производную в 8 классе не учат.

Аноним: Здесь подойдет неравенство коши

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: История, автор: Diana00o

Что такое автокефалия русской православной церкви?
В чем это проявилось

5 лет назад

Предмет: Литература, автор: romagrose2

Допоможіть
Головний герой Запах думки не загинув на незнайомій планеті томущо
1 знайшов поселення розумних істот
2 заховався у печері до прибуття своїх
3 йому просто пощастило
4 використав всю силу власного розуму

5 лет назад

Предмет: Окружающий мир, автор: nastya654278

Чому важливо планувати власне життя? Наведіть приклад. ПОМОГИТЕ СРОЧНО ДАЮ 30 БАЛОВ

5 лет назад

Предмет: География, автор: МуслимУмник

Скажите пожалуйства какого почва в Африке природных зонах Флора и Фауна и где расположена 99 баллов

9 лет назад

Предмет: Физика, автор: Камаз2002

двигатель внутреннего сгорания что это

9 лет назад

числа x и y положительные, при чем x+y=5. Какое найменшее значение может принимать выражение ​

Ответы

числа x и y положительные, при чем x+y=5. Какое найменшее значение может принимать выражение
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$