Предмет: Алгебра, автор: Solver3000

Кто разбираеться в комплексных числах, помогите плиз. Дам 100 баллов.
Надо упростить выражение и записать ответ в алгебраической форме
((√2-i√2)/(√3-i))^(26)

Ответы

Автор ответа: Аноним

Рассмотрим комплексные числа $a=\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ и $b=\sqrt{3}-i$ . Тогда их модуль комплексных чисел:

$|a|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=2\\ \\ |b|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1}=\sqrt{3+1}=2$

Поскольку в комплексного числа а $\cos \alpha >0,~ \sin\alpha <0$ , то данный угол "альфа" лежит в четвертой четверти.

$a=2\Bigg(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigg)=2\Bigg(\cos \Big(-\dfrac{\pi}{4}\Big)+i\sin\Big(-\dfrac{\pi}{4}\Big)\Bigg)$

Аналогично в комплексного числа b угол 'бетта' лежит в четвертой четверти, следовательно:

$b=2\Bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\Bigg)=2\Bigg(\cos\Big(-\dfrac{\pi}{6}\Big)+i\sin\Big(-\dfrac{\pi}{6}\Big)\Bigg)$

Тогда по формуле Муавра

$a^{26}=2^{26}\Bigg(\cos\Big(-\dfrac{\pi}{4}\cdot 26\Big)+i\sin\Big(-\dfrac{\pi}{4}\cdot 26\Big)\Bigg)=2^{26}\Bigg(\cos \dfrac{13\pi}{2}-i\sin\dfrac{13\pi}{2}\Bigg)\\ \\ \\ b^{26}=2^{26}\Bigg(\cos\Big(-\dfrac{\pi}{6}\cdot 26\Big)+i\sin\Big(-\dfrac{\pi}{6}\cdot 26\Big)\Bigg)=2^{26}\Bigg(\cos\dfrac{13\pi}{3}-i\sin\dfrac{13\pi}{3}\Bigg)$

Окончательно получим:

$\Bigg(\dfrac{a}{b}\Bigg)^{26}=\dfrac{2^{26}\Bigg(\cos \dfrac{13\pi}{2}-i\sin\dfrac{13\pi}{2}\Bigg)}{2^{26}\Bigg(\cos\dfrac{13\pi}{3}-i\sin\dfrac{13\pi}{3}\Bigg)}=\dfrac{0-i\cdot 1}{\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{2i}{1-i\sqrt{3}}=\\ \\ \\ =-\dfrac{2i(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3})}=-\dfrac{2i(1+i\sqrt{3})}{1+3}=-\dfrac{i(1+i\sqrt{3})}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i$