На основаниях АВ и СD трапеции АВСD взяты точки Kи L.

Пусть Е - точка пересечения отрезков AL и DK, F-точка пересечения

BL и CK. Доказать, что сумма площадей треугольников АДЕ и ВСF  и  равна площади четырехугольника  EKFL

Соединив точки L и К, получим две новые трапеции CLKB и LDAK.
Есть такая теорема:
 Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие имеют одинаковую площадь. 
Одинаковую площадь имеют треугольники, основаниями которых являются боковые стороны трапеции.  
Треугольники ВСF и LКF в трапеции СLКВ равновелики  (площади треугольников ВLС и СLК равны по равному основанию СL  равной высоте, и треугольник CLF в них общий) Точно так же треугольники LЕК и ЕDА в трапеции  LКАD также имеют равную площадь  
А так как четырехугольник LЕКF содержит по треугольнику из каждой пары, его площадь равна сумме  площадей треугольников АDЕ и ВСF.
Что и требовалось доказать