Докажите что для произвольных чисел а и b выполняется неравенство (а^2+b)(1/a+1/b^2)≥4√(a/b)

Для положительных a , b применим неравенство Коши

Перемножив эти неравенства, получим

Для отрицательных это неверно. Можно было сразу контр-пример привести: a = b = -1, то неравенство будет 0 ≥ 4, что неверно. Поэтому ваше утверждение "для произвольных a и b" - ложно.