Предмет: Алгебра, автор: tesspleasure

Вычислите
$A=tg^{2}36^o*tg^{2}72^o\\\\$
ПЖ ОЧ СРОЧНО!!!!!!!

Ответы

Автор ответа: Mihail001192

$\\A=tg^{2}36^o*tg^{2}72^o\\\\$

Вначале понизим степени тангенсов, переходя от них к косинусам двойных углов:

$A=\frac{(1-cos72^o)}{(1+cos72^o)}*\frac{(1-cos144^o)}{(1+cos144^o)}\\\\$

Далее в числителе и знаменателе раскроем скобки:

$A=\frac{1-cos72^o-cos144^o+cos72^o*cos144^o}{1+cos72^o+cos144^o+cos72^o*cos144^o}=\frac{1-(cos72^o+cos144^o)+cos72^o*cos144^o}{1+(cos72^o+cos144^o)+cos72^o*cos144^o}\\\\$

К произведению $cos72^o*cos144^o\\\\$ применим теперь трюк "гармошка", а к сумме $cos72^o+cos144^o\\\\$ - трюк "домино":

$1)\:\:\:cos72^o*cos144^o=\frac{sin72^o*cos72^o*cos144^o}{sin72^o}=\frac{sin(2^2*72^o)}{2^2*sin72^o}=\frac{sin288^o}{4sin72^o}=\\\\=\frac{sin(360^o-72^o)}{4sin72^o}=-\frac{sin72^o}{4sin72^o}=-\frac{1}{4}\\\\$

$\\2)\:\:\:cos72^o+cos144^o=\frac{cos72^o+cos144^o}{sin(\frac{144^o-72^o}{2})}*sin(\frac{144^o-72^o}{2})=\\\\=\frac{sin36^o*cos72^o+sin36^o*cos144^o}{sin36^o}=\frac{-sin36^o+sin108^o-sin108^o+sin180^o}{2sin36^o}=-\frac{1}{2}\\\\$