Предмет: Алгебра, автор: tesspleasure

$ctg(\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi*sin^{2}(x)+\pi}{4sin^{6}(x)+1})-tg(\frac{\pi}{4sin^{6}(x)+1})=0\\\\$
Как это решать? ПЖ СРОЧНО!!!! 100 БАЛЛОВ!!!!

Ответы

Автор ответа: Mihail001192

3

Данное уравнение равносильно уравнению

$tg(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1})=tg(\frac{\pi}{4sin^{6}x+1})\\\\\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x+\pi}{4sin^{6}x+1}=\frac{\pi}{4sin^{6}x+1}+\pi\:n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}+\frac{1}{4sin^{6}x+1}=\frac{1}{4sin^{6}x+1}+n\\\\\frac{1}{3}+\frac{2\pi*sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=n\\\\$

n ∈ Z

Рассмотрим более пристально выражение $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\\\$ , которое можно записать в следующем виде:

$\frac{1}{2sin^{4}x+\frac{1}{2sin^{2}x}}=\frac{1}{2sin^{4}x-2sin^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\frac{1}{-sin^{2}x*cos^{2}x+(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})}=\\\\=\frac{1}{(2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x})-\frac{sin^{2}2x}{2}}\\\\$

Так как $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}\geq 2\\\\$ (сумма двух положительных взаимно обратных величин), $\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{1}{2}\\\\$ , то $2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}\geq\frac{3}{2}\\\\$ , а значит, $0\leq\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\leq\frac{2}{3}\\\\$

Однако выражение $\frac{1}{3}+\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}\\\\$ должно быть целым, что возможно только при $\frac{2sin^{2}x}{4sin^{6}x+1}=\frac{2}{3}\\\\$ . Это равенство, в свою очередь, выполняется, если и только если

$2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}-\frac{sin^{2}2x}{2}=\frac{3}{2}\\\\$

$\left\{{{2sin^{2}x+\frac{1}{2sin^{2}x}=2}\atop{sin^{2}2x=1}}\right.\:\:\:<=>\:\:\:\left\{{{sin^{2}x=\frac{1}{2}}\atop{cos^{2}x=\frac{1}{2}}}\right.\:\:\:<=>\:\:\:x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\:k}{2}\\\\$ , k ∈ Z

Ответ: $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi\:k}{2}\\\\$ , k ∈ Z

tesspleasure: Спасибо бро, ЛУЧШИЙ!!!

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Русский язык, автор: aleksandrchistyakov2

Определи, на месте каких цифр должны стоять запятые.

Запиши в поле ответа одну или несколько цифр без пробелов и запятых, в порядке возрастания. Например: 123

Приближаясь (1) к роще (2) стоящей на рубеже отцовского владения (3) Лиза пошла тише. (А. С. Пушкин)

Мать быстро встала (1) прошелестев широкой юбкой (2) приняла девчонку у бабки (3) и стала качать. (М. А. Булгаков)

Один директор (1) будучи добрый человек (2) и (3) желая вознаградить его (4) за долгую службу (5) приказал дать ему что-нибудь поважнее, чем обыкновенное переписыванье. (Н. В. Гоголь)

5 лет назад

Предмет: Английский язык, автор: sashabarbova

Помогите пожалуйста,срочно нужно 10,с 17 по 20

5 лет назад

Предмет: Обществознание, автор: krikitti

Желательно срочно. Дам 30 баллов.
Выберите из перечня три примера, иллюстрирующие воздействие природных факторов на развитие общества, и обведите их номера.
1) Разливы Нила и вынос на поля плодородного ила обеспечили развитие орошаемого земледелия у древних египтян.
2) Рельеф Греции гористый, береговая линия изрезана и изобилует удобными бухтами, поэтому греки стали заниматься торговлей и мореплаванием.
3) Средневековое европейское общество делилось на сословия: дворянство, духовенство и простолюдинов.
4) Сельское хозяйство России находится в зоне рискованного земледелия, возможны неурожаи, засухи, вымерзание озимых посевов.

5 лет назад

Предмет: Математика, автор: BoyNoKouSouHello

помогите!!номер 706 поже

9 лет назад

Предмет: Математика, автор: roma734

Сколько:a)1/2 долей б) 1/3 долей в)1/7 долей содержится в одной целой ?

9 лет назад