Через точку A(1, −1, 1) проведена прямая, параллельная плоскости
x + y − z + 3 = 0 и пересекающая прямую

x/2=y-3/1=z/-1
.
Найти уравнение этой прямой. Сделать рисунок

Находим уравнение параллельной плоскости:

x + y - z + D = 0. Подставим те же параметры:

1 + 1 - 1 + D = 0. отсюда D = 1.

Уравнение параллельной плоскости:

x + y - z + 1 = 0

Представим заданную прямую L1 в параметрическом виде:

x/2=y-3/1=z/-1 = t.

x = 2t,

y = t + 3,

z = -t.

Подставим в уравнение параллельной плоскости:

2t + t + 3 - t + 1 = 0.

4t = -4.

t = -4/4 = -1.

Точка В пересечения прямой L1 и плоскости α имеет следующие координаты:

В(−2, 2, 1)

Теперь имеем 2 точки А и В искомой прямой L2.

Определяем вектор АВ: (-3; 3); 0).

Уравнение L2: (x - 1)/(-3) = (y + 1)/3 = (z - 1)/0.

Так как знаменатель при зет равен нулю, то надо уравнение представить в параметрическом виде:

(x - 1)/(-3) = (y + 1)/3 = (z - 1)/0 = k,

x = -3k + 1,

y = +k - 1,

z= 1.