Предмет: Алгебра, автор: 20011961

∛(2+√5) + ∛(2-√5) обчислити

Аноним: 1)

Ответы

Автор ответа: Аноним

0

Пусть $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}=a;~~ \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=b$ . Возведя обе части равенства до куба, получаем $2+\sqrt{5}=a^3;~ 2-\sqrt{5}=b^3$ - сложив эти последние два равенства, имеем

$a^3+b^3=4\\ \\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=4\\ \\ (a+b)^3-3ab(a+b)=4$

Подсчитав $ab=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})\cdot (2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=-1$ , получаем

$(a+b)^3+3(a+b)=4$

Выполним замену $a+b=t$ , получаем $t^3+3t=4$ . Далее это уравнение можно решить проще простого графическим способом. Функция стоящая в левой части уравнения $f(t)=t^3+3t$ является возрастающей, как сумма двух возрастающих функций и эта функция с прямой f(t) = 4 имеет одно пересечение. Путём подбора находим корень t = 1, следовательно, a + b = 1 а это ничто иное как $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1$

Ответ: 1.

Есть и другой способ решения:

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(0.5+0.5\sqrt{5})^3}+\sqrt[3]{(0.5-0.5\sqrt{5})^3}=\\ \\ \\ =0.5+0.5\sqrt{5}+0.5-0.5\sqrt{5}=1$

20011961: спасибо!

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Математика, автор: zosanulana

3,4x+4(1,9x+3),якщо x=-4 помогите пожалуйста

5 лет назад

Предмет: Математика, автор: ravdoninv

(x-16)+100=500
x-16=500-100
x-16=400
x=400-16
x=384
Ответ: x=384

5 лет назад

Предмет: История, автор: icoldshowi

12) Український історики другої половини ХІХ – початку ХХ ст. В. Антонович, М. Костомаров, Д. Яворницький, М. Грушевський окреслювали відносини тогочасної України із Кримським ханством як ворожі. Чи згодні ви з такою думкою? Відповідь аргументуйте.

5 лет назад

Предмет: Биология, автор: Аноним

Самый подвижный сустав?

9 лет назад

Предмет: Математика, автор: мфд251828

укажи на часах, во сколько Настя придёт на репетицию спектакля, которая начинается в 14:30
идти от школы до театра 20 минут
Сейчас четверть третьего, Настя выходит из школы
СРОЧНО!!! ПИШУ ОЛИМПИАДУ ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

9 лет назад