Предмет: Математика, автор: ainur941ardak22

(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0
как решить это ДУ?

Ответы

Автор ответа: emerald0101
0
(3x-5y)dx + (x+y)dy = 0; Выразим y':
frac{dy}{dx}=- frac{3x-5y}{x+y}; y'=frac{5y-3x}{x+y}; Делим числитель и знаменатель дроби на х. y'= frac{5 frac{y}{x} -3}{1+ frac{y}{x}}; 
Уравнение является однородным, выполняем  замену frac{y}{x}=u;y'= frac{5 u-3}{1+ u}; frac{y}{x}=u;y=xu;y'=u'x+u; 
u'x+u= frac{5 u-3}{1+ u};
u'x= frac{5 u-3}{1+ u}-u; 
frac{du}{dx}x= frac{5 u-3-u-u^2}{1+ u};
frac{du}{dx}x= frac{4 u-3-u^2}{1+ u};
Это уравнение с разделяющими переменными.
frac{1+ u}{-u^2+4u-3}du= frac{1}{x}dx;
-frac{1+ u}{(u-1)(u-3)}du= frac{1}{x}dx;  
Интегрируем  -intlimits {frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} , du = intlimits { frac{1}{x}} , dx Первый интеграл находим методом неопределенных коэффициентов
frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}= frac{A}{u-1} + frac{B}{u-3}= frac{Au-3A+Bu-B}{(u-1)(u-3)}= frac{(A+B)u-3A-B}{(u-1)(u-3)};
left { {{A+B=1} atop {-3A-B=1}} right. Rightarrow left { {{A=-1} atop {B=2}} right.
frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}=-frac{1}{u-1} + frac{2}{u-3};
-intlimits {frac{1+ u}{{(u-1)(u-3)}}} , du= -intlimits {(frac{1}{u-1} + frac{2}{u-3})} , du=
-intlimits {frac{1}{u-1} } , du+intlimits {frac{2}{u-3}} , du=-ln|u-1|+2ln|u-3|;
intlimits { frac{1}{x}} , dx =ln|x|+lnC;
-ln|u-1|+2ln|u-3|=ln|x|+lnC;
lnfrac{|u-3|^2}{|u-1|}=ln|Cx|;
frac{|u-3|^2}{|u-1|}=|Cx|;
frac{|frac{y}{x}-3|^2}{|frac{y}{x}-1|}=|Cx|
Это есть общий интеграл данного уравнения.
Вот как-то так.
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Математика, автор: danildzu572
ПРИВИДИТЕ К НАИМЕНЬШЕМУ
ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ (№382 , №383)​
6 лет назад
Предмет: Русский язык, автор: rinatovam14
От чего зависит выбор чередующейся гласной в корне в слове ОЗАРЕНИЕ

а) от суффикса, стоящего после корня;

б) от ударения;

в) от проверочного слова

Помогите плиз​
6 лет назад
Предмет: Қазақ тiлi, автор: Аноним
Помогите пожалуйста срочно


​
6 лет назад
Предмет: Математика, автор: Elena2301
Найди числа, в которых количество сотен является трхзначначным числом 125, 1140, 22305, 100301, 135000
10 лет назад
Предмет: Химия, автор: Child111

Доброго времени суток! Помогите решить задачу по химии. Не сложная, но я забыл уже как... определите массу сульфида меди, полученного из 22,4 г железа и 9,6г серы Заранее спасибо!
10 лет назад